hoc24h

Let $a=n^{3}+2n$ and $b=n^{4}+3n^{2}+1$. For each $n\in\mathbb{N}$, find the greatest common divisor ($\gcd$) of $a$ and $b$.
Given an isoscesles triangle $ABC$ with $\widehat{A}=100^{0}$, $BC=a$, $AC=AB=b$. Outside $ABC$, we construct the isosceles triangle $ABD$ with $\widehat{ADB}=140^{0}$. Compute the perimeter of $ABD$ in terms of $a$ and $b$.
Find all pairs of intergers $x,y$ such that \[x

Compute \[A=3+4+6+9+13+18+\ldots+4953\] where the terms are determined by the formular $a_{n+1}=a_{n}+n$, $n\in\mathbb{N}^{*}$.
Find all natural numbers $x,y$ such that \[(1+x!)(1+y!)=(x+y)!\] where $n!=1.2...n$.
In each square in a $8\times8$ chess board we place some small stones such that the sum of the stones in an row or any column is even. Prove that the sum of the stones in the black

Junior

Write $2004$ natural numbers from $1$ to $2004$ in an abritrary order to get a sequence $a_{1},a_{2},\ldots a_{2014}$ and caculate the sum \[P=\sqrt{a_{1}+a_{2}}+\sqrt{a_{3}+a_{4}}+\ldots+\sqrt{a_{2013}+a_{2014}}.\] Find the greatest value of $P$ for all these sequences.
Let $ABCD$ be a convex quadrilateral such that $AC=BD$ and $AC$ is perpecdicular to $BD$. Construct at the outside of

Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$.
Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với
$P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$
a) Giải phương trình $$\sqrt{3+\sqrt{3+x}}=x.$$ b) Giải hệ phương
trình $$\begin{cases} x+y&=\sqrt{xy}+3\\
\sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7}&=8 \end{cases}.$$
a) Tìm các số nguyên $x, y, z$ khác $0$ thỏa mãn $$\begin{cases}
x+y&=xy+z \\ x^{

a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy tính giá trị biểu thức $$A=(\sqrt{26}+5\sqrt{2})\sqrt{19-5\sqrt{13}}.$$ b) Cho biểu thức $$B=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}- \dfrac{3x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.$$ Rút gọn $B$ và tìm $x$ để $B=1$.
a) Cho parabol $(P) : y=ax^2 $. Tìm hệ số $a$ để đường thẳng $(d): y=2$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $AOB$ vuông.
b) Tìm tham số $m$ để phương

a)
Cho $$a=\frac{1-\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right
)\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}.$$ Tính
$M=(a^2+a-1)^{2014}$.
b) Cho $x,y$ nguyên dương và $x^2+2y$ là số chính phương. Chứng minh $x^2+y$ bằng tổng của hai số chính phương
a) Giải phương trình
$$\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}-\sqrt{3+2x-x^2}=1.$$ b) Giải hệ phương
trình $$\begin{cases} y^2-2y-2xy+4x&=0 \\ x^3

Cho biểu thức $$C=\frac{a}{a-16}-\frac{2}{\sqrt{a}-4}-\frac{2}{\sqrt{a}+4}.$$ a) Tìm điều kiện của $a$ để biểu thức $C$ có nghĩa và rút gọn $C$.
b) Tính giá trị của biểu thức $C$ khi $a=9-4\sqrt{5}$
Cho hệ phương trình $$\begin{cases} (m-1)x+y&=2\\ mx+y&=m+1\end{cases}.$$ với $m$ là tham số.
a) Giải hệ phương trình khi $m = 2$.
b) Chứng minh với mọi $m$, hệ phương trình luôn có nghiệm duy

Cho biểu thức $$P=\frac{3x+\sqrt{16x}-7}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1},\quad x > 1.$$ a) Rút gọn $P$.
b) Tính giá trị của $P$ khi $x=2\sqrt{2}+3$.
a) Cho phương trình $$2013x^{2}-(m-2014)x-2015=0$$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $$\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}.$$ b) Giải

Tính
giá trị của biểu thức
$$S=\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2013^{2}}+\frac{1}{2014^{2}}}$$
a) Giải phương trình $$(x+1)\sqrt{2x^{2}-2x}=2x^{2}-3x-2.$$ b) Giải
hệ phương trình $$\begin{cases} (xy+2y^{2})(x+2)&=-6 \\
x(y+1)&=-1 \end{cases}.$$
a) Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $(p + 1)(p - 1)$

Cho $$P=\left(\frac{-x}{\sqrt{x}(x-9)}+\frac{2}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}\right): \left(\sqrt{x}+3 - \frac{x}{\sqrt{x}-3}\right),$$ với $x> 0$, $x\neq 9$.
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tìm giá trị của $x$ sao cho $P= \frac{-1}{4}$
Cho phương trình $$x^{2}-2(m-2)x+m^{2}-2m+2=0$$ với $m$ là tham số.
a) Giải phương trình khi $m=-1$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có 2